La transformée de Fourier

Qu’est-ce que la transformée de Fourier ?

transformée de Fourier est un outil mathématique fondamental qui décompose un signal temporel, comme une onde sonore, en ses fréquences constitutives.

Imaginez un morceau de musique : il est composé de notes jouées à différentes hauteurs (fréquences). La transformée de Fourier permet de "voir" ces fréquences individuellement, comme si on séparait les ingrédients d’une recette.

Cet outil est essentiel dans des domaines comme l’audio numérique, le traitement des signaux, et même l’imagerie médicale, car il révèle les composantes cachées d’un signal complexe.

Dans cet article, nous allons explorer ses bases, puis voir comment elle évolue vers des versions plus rapides et discrètes, comme la transformée de Fourier rapide (FFT).

Comprendre la transformée de Fourier

À la base, la transformée de Fourier convertit un signal du domaine temporel (où l’amplitude varie avec le temps) au domaine fréquentiel (où l’amplitude varie avec la fréquence).

Pour un signal continu $x(t)$, la transformée de Fourier est définie par :

$$X(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)\cdot e^{-j2\pi ft}dt$$ Ici, $f$ représente la fréquence, et $e^{-j2\pi ft}$ est une fonction complexe qui "analyse" le signal.

Cette formule peut sembler intimidante, mais elle traduit une idée simple : combien chaque fréquence contribue au signal global.

Transformée de Fourier discrète

Dans le monde numérique, les signaux ne sont pas continus, mais échantillonnés à des intervalles réguliers (comme dans un fichier audio WAV).

C’est là qu’intervient la transformée de Fourier discrète (DFT). Pour un signal discret $x(n)$ avec $N$ échantillons, elle est donnée par :

$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\cdot e^{-j2\pi kn/N}$$ $k$ est l’indice de fréquence, et $N$ est le nombre total d’échantillons.

Cette formule calcule les composantes fréquentielles d’un signal numérique, mais elle a un défaut : elle est lente, avec une complexité de $N^2$.

Comment calculer la transformée de Fourier

Calculer une DFT brute demande beaucoup d’opérations. Prenons un exemple avec $N=1024$ échantillons (typique pour un court extrait audio) :

La complexité est : $$\text{Complexité DFT}=N^2={1024}^2=1048576\text{opérations}$$ Cela signifie qu’un ordinateur doit effectuer plus d’un million de calculs pour transformer ce signal, ce qui est inefficace pour des applications en temps réel comme l’analyse audio ou la compression MP3.

C’est pourquoi des optimisations comme la transformée de Fourier rapide ont été développées.

Transformée de Fourier rapide

La transformée de Fourier rapide (FFT), mise au point par James Cooley et John Tukey en 1965, est une version optimisée de la DFT.

Elle réduit drastiquement la complexité en utilisant un algorithme astucieux qui divise le calcul en sous-problèmes plus petits (principe du "diviser pour régner").

Pour $N=1024$, la complexité passe à :

$$\text{Complexité FFT}=N\cdot {\log }_2(N)=1024\cdot 10=10240\text{opérations}$$ Le gain d’efficacité est énorme :

$$\text{Gain}=\frac{1048576}{10240}\approx 102$$ Cela signifie que la FFT est environ 100 fois plus rapide que la DFT brute !

Algorithme transformée de Fourier rapide

L’algorithme de la FFT repose sur une décomposition récursive. Si $N$ est une puissance de 2 (comme 1024), le signal est divisé en deux moitiés : les échantillons pairs et impairs.

Chaque moitié est transformée séparément, puis recombinée, réduisant le nombre total d’opérations de $N^2$ à $N\cdot {\log }_2(N)$.

Cet algorithme est au cœur des technologies modernes, comme les analyseurs de spectre ou les codecs audio.

Transformée de Fourier rapide exemple

Prenons un signal simple : une onde sinusoïdale pure à 440 Hz (la note La). Avec $N=1024$ échantillons à 44,1 kHz (fréquence d’échantillonnage standard), la FFT révèle une seule fréquence dominante à 440 Hz.

Sans la FFT, calculer cela avec la DFT prendrait plus d’un million d’opérations. Avec la FFT, cela tombe à 10 240 opérations, rendant l’analyse quasi instantanée.

C’est cette efficacité qui a permis des avancées comme le traitement audio en temps réel.

Transformée de Fourier rapide pour les nuls

Vous ne comprenez rien aux maths ? Pas de panique. Imaginez la FFT comme un cuisinier magique : au lieu de goûter chaque ingrédient d’un plat un par un (DFT), elle mélange tout rapidement et vous dit instantanément quelles fréquences dominent.

Elle fait le même travail, mais beaucoup plus vite, grâce à une recette spéciale qui coupe les étapes inutiles.

Dans la pratique, la FFT est partout : dans votre téléphone pour la reconnaissance vocale, dans votre musique pour les effets sonores, et même dans les jeux vidéo pour le son spatial.

Transformée de Fourier rapide inverse

La FFT ne sert pas seulement à analyser un signal ; elle peut aussi reconstruire un signal à partir de ses fréquences grâce à la transformée de Fourier rapide inverse (IFFT).

La formule de l’IFFT est presque identique à la DFT, mais avec un signe positif dans l’exponentielle et une normalisation :

$$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)\cdot e^{j2\pi kn/N}$$ Cela permet, par exemple, de resynthétiser un son après avoir modifié certaines fréquences, une technique utilisée dans les égaliseurs audio.